Distribución Normal

El matemático juega a un juego en el que él mismo inventa las reglas, mientras que el físico juega a un juego en el que las reglas son proporcionadas por la naturaleza; pero a medida que pasa el tiempo se hace cada vez más evidente que las reglas que el matemático encuentra interesantes son las mismas que las que ha escogido la naturaleza.

Paul Adrian Maurice Dirac.


 
La distribución normal es una de esas reglas… ¿Quién diría que una curva exponencial, simétrica, y con forma rara podría describir (siempre aproximadamente) casos tan variados como caracteres morfológicos, sicológicos, de consumo y distribuciones de probabilidades?
Las medidas experimentales conllevan cierta variabilidad, de modo que no se puede sacar ninguna conclusión con absoluta certeza. Sin embargo, la estadística proporciona medios para aceptar conclusiones que tienen una alta probabilidad de ser correctas y de rechazar las conclusiones falsas.
Si se repite una experiencia un gran número de veces, y los errores son puramente aleatorios (es decir al azar), los resultados tienden a agruparse simétricamente en torno a un valor medio. Cuantas más veces se repita la experiencia más se acercan los resultados a una curva ideal llamada distribución gaussiana o normal (ver más abajo).
En general, no se realizan tantas medidas de una experiencia en el laboratorio. Por lo general se suele repetir una experiencia en el laboratorio unas pocas veces, y recurriendo a la estadística se puede estimar a partir de una pequeña cantidad de datos, los parámetros que posee una serie grande.
La distribución de probabilidad normal ocupa un lugar importante en la estadística porque casi se ajusta a las distribuciones de frecuencia reales observadas en muchos fenómenos, incluyendo características humanas (pesos, altura, IQ, etc.) y resultados de procesos físicos (dimensiones y rendimientos).

Definición formal

Para definir la distribución normal de probabilidad en una fórmula es necesario conocer dos parámetros:

  • La media (m): es la suma de datos dividido la cantidad de datos.
  • La desviación estándar (s): informa sobre la variación de los datos respecto de la media.

Luego, la definición de la distribución normal es:
“Se dice que la variable X se distribuye de forma normal con parámetros m y s si":

\300dpi f(x)=\frac{1}{s\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-m)^2}{2s^2}}

La distribución normal fue reconocida por primera vez por el francés Abraham de Moivre (1667-1754). Posteriormente, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) elaboró desarrollos más profundos y formuló la ecuación de la curva; de ahí que también se la conozca, más comúnmente, como la "Campana de Gauss".

Si graficamos la ecuación anterior, obtendremos la curva conocida como campana de Gauss.

Campana de Gauss

Si nos fijamos en las características de la curva, veremos que es simétrica, con un vértice, y que en los dos extremos se extienden indefinidamente, acercándose a 0 (la mayor parte de las poblaciones reales no se extienden indefinidamente a ambos lados, por eso la distribución gaussiana es una aproximación).

Ejemplos

Dos casos de distribución normal:

1º Si se anotan las frecuencias de las sumas 3 hasta 18 logradas al lanzar tres dados, se observa que 3 y 18 son las menos frecuentes, porque sólo aparecen en los casos 1+1+1 y 6+6+6; mientras que las sumas intermedias se pueden formar de varias maneras. Si ponemos en el eje horizontal cada número y en el vertical la cantidad de veces que se pueden formar, tendremos un gráfico de forma de campana. Y si aumentásemos el número de dados, la gráfica se haría cada vez más curva.

Distribución Normal - Ejemplo 1

El 10 y el 11 serían los vértices, cada uno con 27 formas diferentes de formarse.

2º En 1871, un señor llamado Qutelet estudió las alturas medidas en pulgadas de 26000 reclutas. Estas alturas tenían valores entre una mínima de 60 pulgadas y una máxima de 76. El cuadro de las frecuencias por cada 1000 reclutas es el siguiente (ver tabla). Si se lo grafica poniendo la altura en las abscisas y la frecuencia en las ordenadas, se ve que las medidas siguen un patrón de distribución normal.

Altura Frecuencia
60 2
61 2
62 20
63 48
64 75
65 117
66 134
67 157
68 140
69 121
70 80
71 57
72 26
73 13
74 5
75 3
76 0
Distribución Normal - Ejemplo 2

3º En todo país, la distribución de las tallas entre las persona, seguirá un patrón de distribución normal, eso es lo que quedó demostrado con las mediciones de Quetelet. Sin embargo en un país con un núcleo extranjero, la gráfica no será una curva de Gauss, aunque la distribución gaussiana si continúa siendo válida: la gráfica podrá considerarse como una suma de campanas de Gauss.

Distribución Normal - Ejemplo 3

La gráfica muestra que la estatura media de la población nativa es 1,65, mientras que la estatura promedio de la minoría extranjera es 1,80. Además, comparando la áreas de las se ve que la minoría es la cuarta parte de la población local.

 

Bibliografía: